一、電磁場數值計算方法的發展概況

     自1864年著名的Maxwell方程組發表，至今己有一百多年的歷史。電抗器電磁場計算的發展與數學知識的發展和應用密不可分，從經典的微積分到張量分析、矩陣計算、特征值理論、泛函分析方法、復變函數理論和積分方程理論都被引入到電磁場理論的分析中。

     在計算機技術發展以前，工程問題的解決主要依賴于解析法和場化路的簡化法，這些方法在電工產品的設計中曾起了重要的歷史作用。但是，大量的工程問題包含了復雜的幾何、物理參數，對此解析法和簡單的場化路的方法是無能為力的。1960年后，電抗器電磁場數值計算技術隨著計算機技術的發展日新月異，各種電磁場數值計算方法相繼發表，如有限差法、有限元法，邊界元法、矩量法以及數值法與解析法或不同數值法之間的耦合等。

     有限差分法是應用最早的一種方法．20世紀50年代以來，有限差分法以其數學概念清楚、形成系數矩陣十分方便等特點，在電磁場數值分析領域內得到了廣泛的應用。但有限差分法的規則網格不能滿意地模擬幾何形狀復雜的問題，而在電工設備中的電抗器電磁場卻往往是以包含復雜的幾何形狀和不同材料的物理參數為特征，因此有限差分法在電磁場分析中的應用逐漸被有限元法替代。

     二十世紀60年代末，P．Silverer和M．v．K．Chaff把有限元法引入到電磁計算中，這是電磁場數值分析中的一個重要轉折點。有限元法以變分原理為基礎，用剖分插值的辦法建立各自由度間的相互關系，把泛函的極值問題轉化為一組多元代數方程來求解．它能使復雜結構、復雜邊界情況的邊值問題得到解答。

     最近20年，由于數值處理技術的提高，例如采用不完全Cholesky分解法、ICCG法、自適應網格剖分等方法，使得有限元法在電場數值計算中越來越占據主導地位。其突出特點在于：(1)場域離散化過程保持了明顯的物理意義；(2)解題能力強，這主要表現在：能夠處理邊界幾何形狀復雜、場域中存在多種媒質的問題；對于第二和第三類邊界不必作單獨處理；能夠自動滿足不同媒質分界面上的邊界條件；離散點分布具有隨意性；計算精度較高；程序通用性強；(3)從數學上講，有限元法拓寬了微分方程的求解方法，推動了泛函分析、計算方法的發展。

     因此，自有限元法誕生以來，在各個學科與工程領域內，該方法得到了極其廣泛的重視和應用，產生了大量有價值的研究成果。80年代初期，由Nedelec、Bossavit和Verite開創的棱邊有限元法，在交接處理、解的穩定性、計算代價等方面顯示出了巨大優勢，成為有限元發展中新的成就之一。有限差分法和有限元法都屬于偏微分方程法。而邊界元法則是在經典的邊界積分方程法基礎上發展起來的。積分方程法由C．W Trowbridge于1972年提出，并給出了二維、三維問題的離散形式。

     由于積分方程法的離散僅需在源區進行，所以能較好地解決開域問題以及連續計算場的問題．1976年出現了以積分方程法為基礎、能解二維、三維非線性恒定磁場的軟件包GFUN。如果采用格林定理，把描述場的第二類Fredlholm積分方程在一定條件下轉化為邊界積分方程，積分方程法就成了邊界元法。1979年，Lean、Friedman和Wexler用“邊界元法”這個名稱系統地介紹了它在各種電抗器電磁場分析中的應用。目前，邊界元法不僅在固體力學問題上得到廣泛的應用，而且在電磁學、熱傳導等領域也得到應用，已經成為電磁場數值計算方法的主要方法之一嘲。

      二、目前，電抗器電磁場數值分析大體上出現了以下幾個發展趨勢：

      (1)原有方法的不斷完善和改進。如三維運動電磁系統的并行處理和耦合問題、各種幾何建模方式的改進、有限元周期邊界的新處理方法、網格快速可靠全自動自適應生成、后驗誤差估計與自適應新方法、有限元分片多項式方法以及三維渦流的三分量邊界元法等。

      (2)耦合方法的研究與應用也越來越廣泛。如有限元法與邊界元法的耦合、有限元法與模擬電荷法的耦合、有限元法與積分方程法的耦合、有限元法與多重網格法的耦合等。近年又出現邊界元與多極理論耦合法、保角變換與邊界元法的耦合、等效源與矩量法的耦合、有限元級數耦合法以及全日棱邊有限元與邊界元耦合算法等。耦合法能實現不同方法的優勢互補，解決多子域、多連通域的復雜問題。

     (3)新方法的開發應用以及新技術的不斷融入。比如棱邊有限元法、疊層有限元法、有限元的外推插值法、無限元法、針對時變電磁場渦流及趨膚效應研究提出的表面阻抗法等。神經網絡和小波分析在電磁場中的應用日益增多，比如已經出現的“小波伽遼金”有限元法、插值小波在差分法中的應用、小波神經網絡在電磁場優化中的應用、遺傳算法、模擬退火算法在電磁場逆問題中的應用、以場矢量沿單元棱邊的線積分為求解變量的棱邊單元法等一些新方法。

     三、三維渦流場研究現狀

     磁場根據其變化速度分為三大類，即靜磁場、渦流場(準靜態場)和高頻場。三維靜磁場計算目前較成熟，高頻場計算有其特殊性，出現了相應的一些新方法，而渦流場的計算是一個經典問題。它的分析較之靜態電磁場的分析復雜，困難在于渦流場的計算規模大，以至于有些實際闖題的求解在現有計算機上還難以進行，這除了電磁場隨時間變化之外，還有如材料的非線性、磁滯等因素的影響。因此三維渦流場的求解問題至今仍然是電磁場學術界研究的前沿課題之一。

     二十世紀八十年代以來，國際電磁場數值計算界對三維渦流場的計算進行了仔細、深入的研究，給出了描述禍流場的多種方法I刀。所采用的方法為以場矢量為變量的直接法以位函數為變量的間接法兩類。直接法指在方程求解中直接以電場強度矢量層和磁場強度矢量日等電磁場量為求解對象的方法，如Bossavit提出的H．oriented和E．oriented對偶解問題。在國內，程志光博士應用E-v方法于電力變壓器電磁場研究，很好地解決了工程實際中的問題。直接法的優點在于能保證解的唯一性，精度較高，缺點是未知量較多，邊界條件的處理比較繁雜，方程計算量大。

     因此，對計算機的性能要求較高。間接法以位函數為求解變量，具有靈活、方便的優點，是目前被廣泛采用的方法。間接法的首次提出是在1981年的COMPUMAG會議上由ChaffBiddlecombe和Morisue等人分別提出的，其核心是用磁矢量位4來描述全部場域(包括渦流區和非渦流區)，用標量電位妒來描述導體區渦流的A，妒4法。該方法******的優點是不需要進行交界面的處理，而且計算精度較高，可用于含有多連域導體區的情況，但未知數個數較多，求解變量較大。

     與基于矢量磁位4的算法相對應的是一種基于矢量電位r的算法引。與4妒4相對的算法為T，妒．1I法，妒為標量磁位。該方法既不需要進行交界面的處理，又可以節省計算機資源(在非渦流區采用了標量磁位妒)一是一種較好的方法。但它不適用于多連通域的情況。A法和r法都是基于有限元法的基本方法。在這兩種方法的基礎上，隨著計算機技術以及電磁場數值計算理論的發展，不斷提出了一些改進的方法。如可將源電流歸入渦流區的A，妒．妒法；用矢量磁位A描述多連通域中的孔，耦合矢量磁位與矢量電位的r，妒法。  

     此外隨著邊界元技術的發展，非渦流區的微分方程可以轉化為渦流區邊界積分方程進行求解。如在渦流區采用，為求解量，在非渦流區采用磁場強度日為求解量的有限元與邊界元耦合法；以及在渦流區采用A和艫為求解量，交界面上用A為求解量的Aq,-A有限元與邊界元耦合法。

     此外還有用棱邊與節點有限元耦合的曰一E一妒法；直接用電密_，計算導體三維渦流場的FE．BE耦合法；用日棱邊的有限元法；三維瞬態渦流場混合日一妒法等。9dsl從當前電抗器電磁計算的發展前沿來看，有限元法仍被認為是最有效、應用最普遍的一種數值計算法。有限元法不僅本身在應用方面具有很大的潛力，而且易與其它理論和方法如自適應網格剖分、耦合問題、開域問題、高磁性材料及具有磁滯及飽和非線性特性介質的處理等相結合，有著廣闊的發展前景。新方法、新技術的不斷應用，進一步開拓了有限元法的應用范圍，也適應了更復雜的、精確度要求更高的問題求解之需要。

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